Optimizaciones

Optimizaciones.

Los modelos analíticos son fundamentales al hacer Supply Chain Management
Antes que todo, ¿Qué es optimizar?
Optimizar según la RAE es "buscar la mejor manera de realizar una actividad". Solo hay una acepción. Pero lo que nos interesa es el uso del calculo para determinar el valor máximo o mínimo de la función.

Funciones.

Lo más seguro es que hayas aprendido sobre funciones en la preparatoria o inclusive antes, pero en ocasiones no se sabe para que sirven. ¿Qué son las funciones? Una función es una relación entre entradas (inputs) y salidas (outputs):
y = f(x). Comúnmente se usa dicha notación para dar a entender que la variable dependiente "y" (en este caso) esta en función de la variable independiente "x".
Para Hoffman una función es "una regla que asigna a cada objeto de un conjunto A exactamente un objeto de un conjunto B. El conjunto A se llama dominio y al conjunto de objetos asignados B se denomina rango".

Funciones lineales.

Imagen obtenida de
 www.mathcaptain.com/algebra/linear-function.html

Las funciones lineales son aquellas donde y cambia linealmente con x:
y = ax+b

a = pendiente. La pendiente puede ser vista como el cambio en y sobre el cambio en x. En pocas palabras, la subida sobre la corrida (rise over run).
b = Valor fijo o intercepción en y.
x = Variable independiente.
y = Variable dependiente.


Algunos ejemplos de el uso de estas funciones son costo el costo de un almacén o de transpote de un TL (Truckload).
Para el costo de un almacén decimos que el costo esta en función de el numero de productos (f(#productos)). Todo almacén tiene un costo fijo (tema que veremos después; pero imaginatelo, la renta, la luz, algunos trabajadores etc le cuestan al almacen sin importar si hay o no inventario.) y el costo variable es el costo de mantenimiento de inventario, entonces tenemos:
Por obviedad el resultado esta dado en unidades monetarias, el costo fijo igual y el costo variables son las unidades por producto.
f(#productos) = costo fijo  + costo variable * numero de productos.
El costo de transporte de un Truckload es prácticamente igual que el del inventario. Pero en este caso esta dado por la distancia. En pocas palabras el costo esta en función de la distancia.
Por ultimo, también la función de utilidad es lineal. Y la ganancia de una empresa esta en función de su volumen de ventas.
Utilidad = f(volumen). La formula es ((g-c)*v)-f
Donde:
g: Ganancia por producto ($/Producto)
c: Costo por producto ($/Producto)
v: Volumen vendido (productos)
f: Costo fijo ($).

Función cuadrática.

http://matematicasiiac.blogspot.mx

Es también llamada parábola o polinomio de orden 2.

La función cuadrática es de la forma y = ax^2+bx+c.
a, b y c son constantes o los coeficientes. La parábola puede tomar muchas formas:
Puede ser cóncava o convexa hacia arriba o hacia abajo o inclusive puede presentarse en la dimensión de números complejos o imaginarios. Como podemos apreciar en la imagen, la parábola a la extrema derecha es la que llamamos cóncava y la de a un costado es la convexa. Un tip para recordar, la convexa puede almacenar agua, mientras que la cóncava la chorrea.

Modelos matemáticos. 

Al igual que hay varios tipos de funciones, hay varios tipos de modelamiento matemático, en este caso haremos modelos prescriptivos (pero no son los únicos que existen):

1. Descriptivo. Responde a la pregunta ¿Que pasa?
2. Predictivo. ¿Qué podría pasar?
3. Prescriptivo. ¿Qué deberíamos hacer?

Tabla de tipo de modelos. Realizada por Mauricio Mani.

Optimizaciones sin restricción.

Primero nos enfocaremos en optimizaciones sin restricciones como la maximización de ganancias, las políticas de reaprovisonamineto de inventario y la optimización de empaques.

Hoffman, L, Bradley, G & Rosen, K . (1986). Aplicaciones adicionales de la derivada. En Calculo Aplicado(231p). México D.F.: McGraw Hill.